人们首先发现了一维的实数，然后是又发现了二维的复数，Gauss一生给出了代数基本原理的4个证明(一个人包了)，N个代数方程必有N个解。可换代数方程对应古典力学问题不大，但是物理世界的变量都是超越数，可换代数方程处理的问题局限性很大。Hamilton拼命地找三元数，最后惊喜地发现了4元数。从此知道了三元以上的代数结构一般是非可换的。非可换的4元数违反直觉的地方较多，迄今很少在学校里教。然后量子力学出来后，新的非可换代数构造被提出。一直到上世纪九十年代，NCG终于被提出来了（干脆把这些非可换代数构造的“点“给取消了）。NCG的4维时空和4元数结构不通，NCG取消了点的定义，通过spectral triple把代数A结构通过Dirac变换作用到Hilbert空间。费曼说谁也不懂量子力学指的是用可换代数不能分析和计算量子力学，NCG可以正确定义和计算量子力学和相对论。
当然NCG并不局限于4维时空的解析，其他NCG结构都是可以分析计算的，如Penrose tilings，fractal结构，电力系统结构，leaves of a foliation,甚至计算黎曼猜想的零点。
古希腊几何有一个难题，用圆规做任意角的三等分。但是没有人想如果画好了任意一个三角形的三等分线后，其交点是一个什么形状？一直到了1899年，Morley发现了是一个正三角形。有许多证明法，Connes用了非可换群的操作，瞬间证明了这个定理。
这个世界是多维的，并且是非线性和非可换地变化的，如果我们用这个视点看问题，许多复杂问题就会简单的多。